首先，我们知道扇形的弧长公式为：

$$

L = r\theta

$$

其中 $ L $ 是弧长，$ r $ 是扇形所在圆的半径，而 $ \theta $ 是以弧度为单位的圆心角。

同时，扇形的面积公式为：

$$

A = \frac{1}{2}r^2\theta

$$

其中 $ A $ 是扇形的面积。

根据题目提供的信息，我们可以将这两个公式结合起来求解 $ \theta $。已知 $ L = 20\pi $ 和 $ A = 240\pi $，因此有：

$$

20\pi = r\theta \tag{1}

$$

$$

240\pi = \frac{1}{2}r^2\theta \tag{2}

$$

从方程 (1) 中可以解出 $ \theta $ 的表达式：

$$

\theta = \frac{20\pi}{r} \tag{3}

$$

将 (3) 代入方程 (2)，得到：

$$

240\pi = \frac{1}{2}r^2 \cdot \frac{20\pi}{r}

$$

化简后：

$$

240\pi = 10\pi r

$$

进一步解得：

$$

r = 24 \, \text{cm}

$$

将 $ r = 24 $ 代入方程 (3)，得到：

$$

\theta = \frac{20\pi}{24} = \frac{5\pi}{6}

$$

因此，该扇形的圆心角为 $ \frac{5\pi}{6} $ 弧度。将其转换为角度单位：

$$

\theta = \frac{5\pi}{6} \times \frac{180^\circ}{\pi} = 150^\circ

$$

最终答案是：

$$

\boxed{150^\circ}

$$